对变上限积分求导时，积分上限本身也是一个随x变化的函数。把上限代入被积函数，只完成了一层变化；若上限不是x，还要追踪它自身的变化率。
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先把两层函数分开命名
原创例子定义F(x)=从1积分到x²的1/(1+t²) dt，其中x取实数。被积函数在整个实数轴连续，因此可以先定义G(u)=从1积分到u的1/(1+t²) dt。
由微积分基本定理，G′(u)=1/(1+u²)，而F(x)=G(x²)。分开写出G与上限x²，可以避免在符号挤在一起时漏掉内层求导。
应用链式法则得到完整导数
F′(x)=G′(x²)×2x=2x/(1+x⁴)。分母中的x⁴来自把t换成x²后再平方，分子2x则来自上限的导数。只写1/(1+x⁴)，遗漏的是第二层变化率。
这里不必先计算积分的显式表达式；连续性与链式法则已经足够。对于更复杂的被积函数，这种组织方式比执着于先求原函数更有用。
负数输入与反向积分不能漏掉
x=-1和x=1的上限都为1，因此F(-1)=F(1)=0。x=0时，上限为0，小于下限1，所以F(0)是一个负的定积分值。积分下限较大，并不使定义失效。
导数在x<0时为负，在x>0时为正，且F′(0)=0。因此F在零点两侧先减后增。这与F只依赖x²、从而是偶函数的结构一致。
用对称性反查漏项
可导偶函数的导数应呈奇函数关系。本例2x/(1+x⁴)确实满足F′(-x)=-F′(x)；漏掉2x的表达式则为偶函数，是一个有帮助的错误信号，但不能代替前面的求导证明。
本文是自主编写的STEP学习练习，不是官方题目。解题时请先说明连续性、定义中间函数，再处理上限导数与符号。扫码讨论时可标出自己在哪一步把积分变量t和外部变量x混在了一起。
延伸阅读：STEP积分换元：变量换了，积分上下限也要跟着解释。
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