裂项求和的难点往往不是识别“可以相消”，而是准确写出留下来的边界。只写一句中间全消掉，很容易少算第一项或把最后的分母错移一位。先定义有限部分和，可以让每一步有明确对象。
想结合自己的基础讨论下一步？到文末扫码联系翰林，发送“STEP裂项1031”，说明年级、学习目标和目前最困惑的问题。
先证明单项恒等式
原创练习设Sₙ=Σ从k=1到n的1/[k(k+1)]，其中n为正整数。通分可得1/k-1/(k+1)=[(k+1)-k]/[k(k+1)]=1/[k(k+1)]，因此每一项都可改写成两个倒数之差。
先做通分核验，能避免把差的顺序写反。若误写为1/(k+1)-1/k，结果将是原项的相反数；正项和不可能因此突然变成负数，这是一个很快的符号检查。
展开首尾，而不是只说中间消去
Sₙ=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))。每个内部负项都与下一组的正项抵消，最后留下Sₙ=1-1/(n+1)=n/(n+1)。
例如n=4时，直接计算1/2+1/6+1/12+1/20=4/5，与公式一致。最后留下的分母是n+1，不是n；它来自最后一组的负项，应当在展开时明确写出。
无穷和需要在有限公式后取极限
对每个有限n，Sₙ都小于1，且与1的差为1/(n+1)。当n趋于无穷时，这个差趋于零，所以相应无穷级数的和为1。不能把有限的Sₙ直接写成1。
这个推导先对任意有限n建立精确等式，再研究极限，没有把没有边界的无限项随意重排。遇到更复杂级数时，保持这种顺序尤其重要，因为形式上看似可以消去，不自动保证无穷和存在。
改变起点时重新检查边界
若改为从k=3加到n，且n≥3，同样展开后得到1/3-1/(n+1)。起点改变，留下来的第一项也跟着改变；不能继续套用从1开始的结果。
本例是自主设计的STEP学习练习，不是官方题目。可用一组短和、正负号和极限三个角度核验，再尝试自己解释为什么每项恰好被配对。官方支持模块用于安排学习次序；扫码时可带上自己展开的首尾几项。
延伸阅读：STEP证明训练：数学归纳法的递推步，究竟假设了什么。
带着具体问题，扫码联系翰林
正在了解项目、选择学习方向，或已经开始准备？用微信扫描下方二维码，发送“STEP裂项1031”。请补充年级、所在地区、当前基础和最想解决的问题，方便沟通时直接聚焦。
电脑阅读可用微信扫码；手机阅读可点击入口，或保存二维码后在微信内识别。
官方信息与延伸资料：资料1
