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STEP参数积分：绝对值里的零点移动后，为什么积分要分区间写

绝对值函数的表达式取决于内部量的正负。如果其中含参数，改变参数就会移动分界点。先判断这个点在积分区间的哪里，比直接写一个没有条件的原函数更可靠。

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先按零点位置分类

原创例子定义I(a)=从0到2积分|x-a| dx，a取实数。内部表达式在x=a处为零，所以分三类：a≤0、0<a<2、a≥2。

若a≤0，整个积分区间中x-a≥0，得到I(a)=∫₀²(x-a)dx=2-2a。若a≥2，则x-a≤0，得到I(a)=∫₀²(a-x)dx=2a-2。不能在这两类中继续按同一个符号展开。

零点在区间内部时分两段

当0<a<2，左段0≤x≤a的绝对值为a-x，右段a≤x≤2为x-a。因此I(a)=∫₀ᵃ(a-x)dx+∫ₐ²(x-a)dx。

两段分别为a²/2和(2-a)²/2，总和为a²-2a+2=(a-1)²+1。分界a同时决定积分范围，不能只改变被积函数的正负而忘记改上下限。

检查连接处与简单代入

a=0时，外侧公式给出2，内部公式取边界也给出2；a=2时两侧同样连接为2。a=1时，两个三角形面积各为1/2，总积分为1。

另可取a=-1或a=3，两种情况都得到4。左右对称的检查与积分区间中心在1一致，有助于发现某一段漏了负号或把长度2-a写反。

最小值要比较全部参数范围

内部表达式为(a-1)²+1，最小为1，在a=1取得。外侧两段在各自范围都不小于2，因此1也是全部实数参数上的全局最小值，而不只是内部一段的局部判断。

本文是自主设计的STEP学习练习，不是官方题目。可先画出零点与0、2的相对位置，再积分、核对边界和比较各段。扫码时带上自己的分类条件，便于判断问题出在符号还是漏掉参数范围。

延伸阅读：STEP积分技巧：用x与π-x配对，怎样把未知积分相加。

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STEP变上限积分：上限是x²时，为什么不能只把x²代进被积函数

对变上限积分求导时，积分上限本身也是一个随x变化的函数。把上限代入被积函数，只完成了一层变化；若上限不是x，还要追踪它自身的变化率。

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先把两层函数分开命名

原创例子定义F(x)=从1积分到x²的1/(1+t²) dt，其中x取实数。被积函数在整个实数轴连续，因此可以先定义G(u)=从1积分到u的1/(1+t²) dt。

由微积分基本定理，G′(u)=1/(1+u²)，而F(x)=G(x²)。分开写出G与上限x²，可以避免在符号挤在一起时漏掉内层求导。

应用链式法则得到完整导数

F′(x)=G′(x²)×2x=2x/(1+x⁴)。分母中的x⁴来自把t换成x²后再平方，分子2x则来自上限的导数。只写1/(1+x⁴)，遗漏的是第二层变化率。

这里不必先计算积分的显式表达式；连续性与链式法则已经足够。对于更复杂的被积函数，这种组织方式比执着于先求原函数更有用。

负数输入与反向积分不能漏掉

x=-1和x=1的上限都为1，因此F(-1)=F(1)=0。x=0时，上限为0，小于下限1，所以F(0)是一个负的定积分值。积分下限较大，并不使定义失效。

导数在x<0时为负，在x>0时为正，且F′(0)=0。因此F在零点两侧先减后增。这与F只依赖x²、从而是偶函数的结构一致。

用对称性反查漏项

可导偶函数的导数应呈奇函数关系。本例2x/(1+x⁴)确实满足F′(-x)=-F′(x)；漏掉2x的表达式则为偶函数，是一个有帮助的错误信号，但不能代替前面的求导证明。

本文是自主编写的STEP学习练习，不是官方题目。解题时请先说明连续性、定义中间函数，再处理上限导数与符号。扫码讨论时可标出自己在哪一步把积分变量t和外部变量x混在了一起。

延伸阅读：STEP积分换元：变量换了，积分上下限也要跟着解释。

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STEP求和：看到相邻项相消后，为什么还要把首尾两端写出来

裂项求和的难点往往不是识别“可以相消”，而是准确写出留下来的边界。只写一句中间全消掉，很容易少算第一项或把最后的分母错移一位。先定义有限部分和，可以让每一步有明确对象。

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先证明单项恒等式

原创练习设Sₙ=Σ从k=1到n的1/[k(k+1)]，其中n为正整数。通分可得1/k-1/(k+1)=[(k+1)-k]/[k(k+1)]=1/[k(k+1)]，因此每一项都可改写成两个倒数之差。

先做通分核验，能避免把差的顺序写反。若误写为1/(k+1)-1/k，结果将是原项的相反数；正项和不可能因此突然变成负数，这是一个很快的符号检查。

展开首尾，而不是只说中间消去

Sₙ=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))。每个内部负项都与下一组的正项抵消，最后留下Sₙ=1-1/(n+1)=n/(n+1)。

例如n=4时，直接计算1/2+1/6+1/12+1/20=4/5，与公式一致。最后留下的分母是n+1，不是n；它来自最后一组的负项，应当在展开时明确写出。

无穷和需要在有限公式后取极限

对每个有限n，Sₙ都小于1，且与1的差为1/(n+1)。当n趋于无穷时，这个差趋于零，所以相应无穷级数的和为1。不能把有限的Sₙ直接写成1。

这个推导先对任意有限n建立精确等式，再研究极限，没有把没有边界的无限项随意重排。遇到更复杂级数时，保持这种顺序尤其重要，因为形式上看似可以消去，不自动保证无穷和存在。

改变起点时重新检查边界

若改为从k=3加到n，且n≥3，同样展开后得到1/3-1/(n+1)。起点改变，留下来的第一项也跟着改变；不能继续套用从1开始的结果。

本例是自主设计的STEP学习练习，不是官方题目。可用一组短和、正负号和极限三个角度核验，再尝试自己解释为什么每项恰好被配对。官方支持模块用于安排学习次序；扫码时可带上自己展开的首尾几项。

延伸阅读：STEP证明训练：数学归纳法的递推步，究竟假设了什么。

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