猜出两个数相等时乘积大，只是解题的起点。证明需要覆盖所有允许的取值，并说明等号能否在条件范围内达到，不能由几个数值例子代替论证。
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从非负平方建立上界
设原创问题中x、y为非负实数，且x+y=10。由于(x-y)²≥0，而(x+y)²=(x-y)²+4xy，所以100≥4xy，得到xy≤25。
这里没有先假设x=y。这个不等式对所有满足原条件的x、y都成立，因此确实给出了统一上界。
证明上界能够达到
等号要求(x-y)²=0，即x=y。与x+y=10结合，得到x=y=5，满足非负条件，乘积确为25。因此25不仅是上界，也是最大值。
如果题目另加x、y必须是不同整数，5、5便不再可行。此时还要利用整数间距重新判断，不能只保留同一个等号结论。
把平方写成目标量的差
也可令y=10-x，得到xy=25-(x-5)²。它直接显示乘积距离25差了一个非负平方，同时说明取值范围为0≤x≤10。
两种写法核心相同，但第二种更便于看目标函数图像。根据后续问题选择表达方式，而不是为了套某个定理增加无关步骤。
推广时保留参数条件
若x+y=S且x、y非负，可行条件需要S≥0，并有xy≤S²/4，等号在x=y=S/2达到。若改为严格正数，S=0的情况不可行，应单独处理。
本文为原创STEP基础证明练习。官方支持材料可帮助练习完整推理，但本例不对应某一道官方试题，也不替代对具体题设范围的检查。
延伸阅读：STEP证明训练：数学归纳法的递推步，究竟假设了什么。
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