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把概率化成面积，前提是模型的均匀性与取样方式明确。加入条件后，分母也要改为条件允许的区域，而不是仍除以整个正方形。

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先建立联合均匀模型

设X、Y独立且都在0到1上均匀分布。点(X,Y)在单位正方形中均匀，事件X+Y<1对应左下方直角三角形，面积为1/2，因此概率1/2。

如果只说各自可能取0到1，却没有独立均匀条件，就不能自动使用这个面积比例。

加入X>1/2的条件

条件区域是正方形右半边，面积1/2。在它内部仍满足X+Y<1的区域，是底与高各1/2的小直角三角形，面积1/8。

因此条件概率为(1/8)/(1/2)=1/4。1/8是联合事件在原模型中的概率，不是最终条件概率。

边界需要按模型理解

在这个连续均匀模型中，单条边界线的面积为零，严格与非严格不等号在相关概率上可相同。但离散整数取样时，边界点可能有正概率，不能照搬。

先画允许区域，再写面积，能减少条件只改分子、没改分母的失误。

把几何与概率依据都写出

完整解释需要说明取样分布、区域对应、面积和比值。只有一张草图，并不能证明实际概率恰好等于图上视觉比例。

本文是原创STEP方法训练，不是官方试题。遇到非均匀密度时，可能需要按密度积分，而不是只算面积。

延伸阅读：STEP参数题怎样避免漏解？分类讨论、判别式与边界检查训练。

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知道几个根，不必先尝试一般三次方程求根。将根代回多项式，往往能把参数限制变成较简单的线性关系，再利用结构完成分解。

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把根写成函数值为零

设f(x)=x³+px+q，已知1和2都是根。由f(1)=0得到1+p+q=0；由f(2)=0得到8+2p+q=0。

两式相减，7+p=0，所以p=-7，再得q=6。代入根与“系数本身等于根”不是一回事。

用已知因式重建多项式

因此f(x)=x³-7x+6。因为1与2为根，可提出(x-1)(x-2)，完整分解为(x-1)(x-2)(x+3)。第三个根是-3。

展开核对：x²项抵消，x项为-7x，常数为6。原多项式没有x²项，也是检查三个根之和为零的一条结构线索。

为什么这已经覆盖所有根

分解为三个一次因式后，乘积为零当且仅当至少一个因式为零，因此在这里得到全部根。只验证1、2、-3能代入，不单独等于证明没有其他根。

若问题出现重根或更高次数，需要保留次数和重数信息，不能只列不同的数就结束。

让参数条件保持可追溯

每一条已知条件都应对应一条方程，再说明方程如何确定参数。如果条件互相矛盾，应报告无相应多项式，而不是强行给出参数。

这是原创STEP方法练习，不是官方题目。复盘时分别检查条件翻译、消元、因式分解和完整性，不把所有失误归为计算问题。

延伸阅读：STEP参数题怎样避免漏解？分类讨论、判别式与边界检查训练。

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有些定积分可以利用区间对称，不必一开始展开较长计算。核心不是看到对称就猜结果，而是用换元写出同一个积分的另一种合法形式。

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把原积分变换一次

设I=∫₀π x sinx dx，令u=π-x。注意上下限与du=-dx后，得到I=∫₀π(π-u)sin u du，因为sin(π-u)=sin u。

积分变量只是占位名称，可再把u写成x。两种表达确实代表同一个I，不是另一个未说明的量。

将两个表达相加

2I=∫₀π[x+(π-x)]sinx dx=π∫₀π sinx dx=2π，因此I=π。

这一步利用了配对后x项消去。不是单凭被积函数看起来左右相似，就把积分值直接当作中点函数值乘区间长。

用其他方法与符号检查

分部积分也可求原函数-x cosx+sinx，代入0与π同样得到π。原函数在区间非负，也与结果正值相符。

本文为原创STEP方法训练。推广到其他函数前，先检查区间、变换后函数关系及可积性，不把一个对称技巧无条件套到所有积分。

延伸阅读：STEP参数题怎样避免漏解？分类讨论、判别式与边界检查训练。

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