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STEP隐函数求导：分母为零的位置，为什么要回到曲线判断

求导得到一个分式后，分母为零的位置需要单独分析。表达式不适用，可能反映切线方向特殊，而不是原曲线上的点自动消失。

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按链式法则求导

考虑x²+y²=25。在能局部把y看作x的可导函数的位置，求导得到2x+2y(dy/dx)=0，因此dy/dx=-x/y，要求y≠0。

y²对x求导时需要乘dy/dx，不能把y当作与x无关的常数。

在普通点检查斜率

点(3,4)满足曲线方程，斜率为-3/4。半径方向斜率4/3，与切线垂直，符合圆的几何解释。

候选点首先必须在曲线上；只代入斜率公式不能证明它属于这条曲线。

边界点回到几何或其他表示

当y=0时，曲线上有(5,0)和(-5,0)。这里切线为竖直线x=5和x=-5，不能用有限dy/dx表示。原曲线仍经过这些点。

本例为原创STEP方法训练。遇到分母为零，区分原式限制、局部函数表示限制与曲线实际行为，再决定是否需要单独讨论。

延伸阅读：STEP参数题怎样避免漏解？分类讨论、判别式与边界检查训练。

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STEP函数题：x²为什么需要限制定义域后才有单值反函数

把y=x²里的x和y交换，再开平方，并不自动得到一个在原范围上成立的单值反函数。关键是原函数能否让每个输出对应唯一输入。

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先检查一一对应

f(x)=x²若定义在全部实数上，f(2)=f(-2)=4。同一个输出4有两个输入，因此不存在把所有这些对应完整反过来的单值反函数。

写x=±√y描述了逆关系，但±两个选择本身不是单值函数。

限制一段定义域

若将原函数限制为x≥0，它的值域为y≥0，且在该范围一一对应，于是反函数为f⁻¹(y)=√y。

若原定义域改成x≤0，则反函数为-√y。限制条件不同，合法反向选择也不同。

核对复合关系的范围

在x≥0时，√(x²)=x；对任意实数则应为|x|。忽略这个绝对值，是把限制范围偷偷推广的典型错误。

本例为原创STEP方法训练。说明定义域、值域和单射依据，比只做代数变形更能证明反函数确实存在。

延伸阅读：STEP参数题怎样避免漏解？分类讨论、判别式与边界检查训练。

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STEP积分换元：变量换了，积分上下限也要跟着解释

换元法不只是把一部分写成u。定积分中的上下限描述变量的取值范围，变量改变后，需要把边界同时转换，或在回到原变量后再用原边界。

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把微分关系写完整

考虑I=∫₀¹ 2x/(1+x²) dx。设u=1+x²，则du=2x dx；x=0时u=1，x=1时u=2。

所以I=∫₁² 1/u du=ln2。分母变成u，分子与dx合在一起成为du，不能只把dx直接改写成du。

另一条合法路径是回代

也可先求原函数ln(1+x²)，再在x=0和x=1代入，仍得到ln2。两条路径各自一致，结果相同。

错误做法是在被积函数已经换成1/u后，还沿用0到1的x边界；这会计算一个不同甚至有奇点的积分。

用范围检查结果

原被积函数在0到1上非负，所以结果应非负。ln2约0.693，与图像面积的数量级相符，但数值吻合不能代替换元步骤的依据。

本例为原创方法讲解。遇到非一一对应或更复杂边界时，需要进一步分析换元条件，不能把一个简单例子的操作无条件推广。

延伸阅读：STEP参数题怎样避免漏解？分类讨论、判别式与边界检查训练。

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